Drucker-Prager

Das Drucker-Prager-Materialmodell ist das einfachste Materialmodell, das zur Abbildung eines nichtlinearen Bodenverhaltens eingesetzt werden kann. Im Gegensatz zum Mohr-Coulomb-Modell ist die Fließfläche beim Drucker-Prager-Modell glatt und erscheint im Hauptspannungsraum als zylindrischer Kegel.Wie in der untenstehenden Abbildung zu erkennen ist, hängt die Fließfläche – ähnlich wie beim Mohr-Coulomb-Modell – vom mittleren effektiven Spannungszustand σ_m^eff ab. Die in GEO5 FEM implementierte Version des Modells basiert auf der Annahme einer triaxialen Extension.Das bedeutet, dass die Projektion der Drucker-Prager-Fließfläche f^DP in eine deviatorische Ebene durch die inneren Ecken des Mohr-Coulomb-Sechsecks verläuft – bei einem Lode-Winkel von, θ = - 30°

a) Fließfläche im Hauptspannungsraum, b) Projektion in die deviatorische und c) meridionale Ebene

Das Drucker-Prager-Modell ermöglicht die Berücksichtigung der Dilatanz des Materials (d. h. der positiven volumetrischen plastischen Dehnungen während des plastischen Scherens) durch Einführung des Dilatanzwinkels ψ. Die Entwicklung plastischer Dehnungen wird im Allgemeinen durch das plastische Potenzial g^DPgesteuert. Während die Steigung der Fließfläche in der Meridionalebene durch den inneren Reibungswinkel M_φ = M_φ(φ)bestimmt wird, hängt die Steigung der Plastischen-Potenzialfläche vom Dilatanzwinkel ab M_ψ = M_ψ(ψ). Die Bedingung ψ = φ entspricht der assoziierten Fließregel; andernfalls wird die nicht-assoziierte Fließregel verwendet. Weitere Einzelheiten finden sich im theoretischen Handbuch. Da sich der Boden letztlich in einen sogenannten kritischen Zustand überführt (kein Zuwachs der volumetrischen plastischen Dehnung beim plastischen Scheren), ist es sinnvoll, die Dilatanz zu begrenzen. Dies erfordert die Einführung eines maximalen Porenvolumens e_max, bei dessen Erreichen der kritische Zustand mit ψ = 0 erwartet wird. Ein anschauliches Beispiel wird hierzu dargestellt (hier). Die Auswirkungen der Wahl des Dilatanzwinkels auf die Vorhersage des Bodenverhaltens im Vergleich zum tatsächlichen Verhalten werden ebenfalls erläutert (hier).Zur Verdeutlichung ist in der folgenden Abbildung eine grafische Darstellung der Entwicklung der volumetrischen Dehnung unter Berücksichtigung einer Dilatanzbegrenzung (Dilation Cutoff) dargestellt.

Entwicklung der volumetrischen plastischen Dehnung mit Dilatanzbegrenzung

Die grundlegenden Materialparameter, die das Drucker-Prager-Modell definieren, sind in der folgenden Tabelle aufgeführt. Diese Parameter können sowohl bei Berechnungen unter dränierten Bedingungen als auch unter undränierten Bedingungen vom Typ (1) – d. h. Berechnung in effektiven Spannungen (c_ef, φ_ef) verwendet werden. Wird hingegen Typ (2) gewählt – also die Berechnung in effektiven Spannungen auf Basis der undränierten Scherfestigkeit (S_u) – so wird der Wert der effektiven Kohäsion c durch den Wert der undränierten Scherfestigkeit S_u ersetzt. Der effektive Reibungswinkel φ = φ_u wird in diesem Fall auf null gesetzt, also φ = φ_u . Die Drucker-Prager-Fließfläche wird dann durch die Mises-Fließfläche ersetzt (siehe unten). Die Steifigkeitsparameter werden jedoch weiterhin als effektive Werte angenommen.Bei undränierten Bedingungen wird im Allgemeinen davon ausgegangen, dass der Boden keine Dilatanz zeigt. Daher wird für beide Varianten der Dilatanzwinkel ψ = 0 angesetzt.

Aus der Materialparameter-Tabelle wird ersichtlich, dass das Drucker-Prager-Modell – ähnlich wie das modifizierte elastische Modell – zwischen dem Bodenverhalten bei primärer Belastung und bei Ent- bzw. Wiederbelastung unterscheidet. Dies geschieht durch Einführung eines Ent-/Wiederbelastungsmoduls E_ur, siehe auch das Mohr-Coulomb-Modell.

Bei der Wahl undränierter Bedingungen vom Typ (3) – also der Berechnung in Gesamtspannungen S_u – wird die Drucker-Prager-Fließfläche erneut durch die Mises-Fließfläche ersetzt. In ähnlicher Weise wird die Mohr-Coulomb-Fließfläche durch die Tresca-Fließfläche ersetzt. Eine grafische Darstellung dieser Variante ist in der Abbildung enthalten. Diese Option berücksichtigt φ = ψ = 0, was der assoziierten Fließregel entspricht. Da hierbei ein volumenunveränderliches Material modelliert wird, wird der Wert der Querdehnungszahl ν typischerweise im Bereich von 0,49 bis 0,499 gewählt. Es ist zu beachten, dass ein zu großer Wert nahe 0,5 numerische Instabilitäten verursachen kann. Im besten Fall führt dies zu ungenauen Ergebnissen.Weitere Informationen finden Sie im theoretischen Handbuch.

a) Fließfläche im Hauptspannungsraum, b) Projektion in die deviatorische Ebene und c) Meridionalebene

Die Materialparameter zur Definition der Mises- bzw. Tresca-Fließfläche sind in der folgenden Tabelle angegeben.Im Fall der Mises-Fließfläche ist der Wert des Lode-Winkels θ konstant und beträgt ± 30°.

Das Drucker-Prager-Modell erlaubt – ähnlich wie das Mohr-Coulomb-Modell – die Durchführung von Standsicherheitsberechnungen. Dabei können sowohl die klassische Böschungsstabilitätsanalyse als auch eine Stabilitätsanalyse innerhalb eines bestimmten Rechenschritts (Bauphase) durchgeführt werden.In beiden Fällen erfolgt die Berechnung durch eine schrittweise Reduktion der Scherfestigkeitsparameter c, φ wobei ein Reduktionsfaktor ζ eingeführt wird:

Dabei sind c, φ die tatsächlichen Scherfestigkeitsparameter, c_d, φ_d die reduzierten Parameter.Der Sicherheitsbeiwert FS ergibt sich daraus wie folgt:

Ebenso wird der Dilatanzwinkel ψ reduziert, sofern ψ ≠ 0 vorgegeben ist.Die Implementierung des Drucker-Prager-Materialmodells im GEO5 FEM-Programm ist ausführlich im theoretischen Handbuch beschrieben.